스물네번째 이야기 - 모평균의 가설검정 대립가설, 귀무가설 다시 한번 정리 -2

안녕하세요 리그레션입니다. 앞서 설명하던 것을 계속해볼까요~

 

검정 문제에서 귀무가설은 Mu가 270이고 대립 가설은 Mu < 270입니다. 귀무가설을 기각할 것인가 말 것인가를 결정하는 기준으로 임의로 추출된 38개 계란의 콜레스테롤 함량 측정값으로부터 계산된 표본 평균을 사용하는 것이 당연해 보입니다. 그렇다면 표본 평균이 어떤 값일 때 귀무가설을 기각할 것인가?라는 문제를 해결해야 합니다. 양계 학자에 의하여 제기된 주장은 Mu가 작다는 것이므로 표본 평균의 값이 작을 때 귀무가설을 기각하고 따라서 대립 가설이 맞다고 할 수 있을 겁니다. 그러므로 적절한 결정 법칙은 다음과 같은 형태가 되어야 합니다.

이 결정법칙의 편리한 표현으로 R : Xbar <= c를 쓸 수 있습니다. 여기서 R은 귀무가설의 기각을 의미합니다. 또한 이러한 관점에서, 관측값들의 집합 [Xbar <= c]는 기각역(rejection region)이라고 하고, 기준값 c를 기각치(critical value)라고 합니다. 결정 법칙을 완전하게 정하기 위해선 기각치 c가 명시되어야 합니다. 이를 위해서 귀무가설이 성립이 되는 경우, 즉 Mu가 270인 경우를 생각해보면, 이 경우 귀무가설을 기각하는 것은 잘못된 결정이고 그 결과 틀린 주장인 대립 가설을 채택하게 되는 심각한 오류를 범하게 됩니다. 이러한 종류의 오류를 적절히 방지하기 위하여, Mu가 270일 때 P [Xbar <= c]이 아주 작다는 확신을 가질 수 있어야 합니다. 예를 들면, 귀무가설을 잘못 기각할 확률을 a=0.05만큼 작게 하고 싶다고 합니다. 그러면 Mu가 270일 때 P [Xbar <= c] = 0.05가 되는 c를 찾으면 됩니다.

 

기각역을 Xbar로 표현하는 대신, 표준화된 통계량 Z(표준 정규분포)를 이용하여 표현할 수 있습니다.

 

그리고 표본에 의한 결정과 미지의 실제상황에서 조사결과가 다르기에 우리는 1종 오류와 2종 오류를 범할 수 있습니다.

표본에 의한 결정	미지의 실제 상황
	귀무가설 참		대립가설 참(귀무가설 거짓)
귀무가설 기각	귀무가설을 잘못 기각한 경우(제 1종오류 범함)		옳은 결정
귀무가설 채택	옳은 결정		귀무가설을 잘못 채택한 경우(제 2종오류 범함)

만일 표본에 의한 결정이 귀무가설을 기각한다면 그것이 옳은 결정인경우(대립가설이 참인 경우) 또는 제1종 오류를 범하게 됩니다.(귀무가설이 참인 경우) 반면, 귀무가설을 채택한다면 그것이 옳은 결정이거나 (귀무가설이 참인 경우) 제2종 오류를 범한 것이 됩니다.(대립 가설이 참인 경우) 요약하자면,

 

제1종 오류 : 귀무가설이 참인데 귀무가설을 기각함

제2종 오류 : 대립 가설이 참인데 귀무가설을 기각하지 않음

a : 제 1종 오류를 범할 확률(유의 수준)

b : 제2종 오류를 범할 확률

 

감사합니다. 이상입니다.