열아홉번째 이야기 - 모평균의 점추정

안녕하세요~ 리그레션입니다. 오늘은 모평균의 점추 정에 대해서 다룰 건데요, 앞선 포스트에서 약간 언급했던 내용도 있을 테니 부담 없이 들어주셨으면 좋겠습니다. 그럼 시작할게요.

 

점추 정의 목적은 표본자료를 이용하여 미지의 모수에 가까울 것으로 기대되는 하나의 수 값을 구하는 것입니다. 이 경우 표본자료로부터 계산된 통계량의 값이 모수에 가능한 가깝게 되도록 통계량을 결정해야 좋은 것이겠죠.

 

모수를 추정하기 위해 사용된 통계량을 점추 정량(point estimator) 혹은 간단히 추정량이라고 부르는데요, 이 추정량의 표준편차를 표준오차(standard error)라고 합니다. S.E.라고도 표기를 합니다.

 

앞서 게시했던 포스트에서 공부했던 결과를 다시 한번 살펴볼까요?

특히 3번째 줄의 성질을 살펴보면 정규분포에서는 평균을 중심으로 그 양쪽 방향으로 2배의 표준편차만큼의 구간에 0.954의 확률이 포함되게 됩니다. 따라서 표본을 추출하기 전에 추정량이 모수의 모평균 mu로 부터 2*sigma/루트 n 내에 있을 확률은 0.954입니다. 달리 표현하면요, X bar를 mu로 추정할 경우 95.4% 오차한계는 2*sigma/루트 n이라고 할 수 있습니다.

 

표준오차의 2배에 해당하는 확률 0.954가 일반적인 값은 아니고 다음의 기호를 사용하면 임의의 값에 대하여 100(1-a)% 오차한계를 쉽게 나타 낼 수 있습니다.

곡선의 중앙은 0이고 왼쪽하단의 곡선 양쪽에 각각 색칠한 부분은 (면적이 아니라 점 값이) 플러스 마이너스 Z_a/2입니다. 왼쪽이 0을 기준으로 마이너스, 오른쪽이 플러스입니다. 그리고 이 색칠한 부분을 제외한 면적은 1-a로 나타냅니다. 색칠한 면적은 a/2입니다.

 

90%의 오차한계를 구해볼까요? 이 경우 1-a=0.90이고 a/2=0.05이고 Z_0.05 = 1.645입니다. 따라서 뮤를 추정하기 위해서 X_bar를 사용하면 90% 오차한계는 1.645 * sigma / 루트 n이 됩니다.

 

참고로 여기서 n이 크면 표준오차 식에서 sigma 대신 s를 사용할 때 생기는 차이는 무시할 수 있을 정도로

작습니다.

 

감사합니다. 이상 리그레션이었습니다.